Πυθαγόρεια Φυσική Διαστηματική

Πληροφοριακά Στοιχεία: Απρίλιος 2005; Κώστας Κουρούνης

Το άρθρο αυτό έχει μόνο ένα και μοναδικό σκοπό: να υποψιάσει τον αναγνώστη πως εκτός από το ισοπεδωτικό μουσικό σύστημα των Δυτικών, υπάρχει ένας απέραντος πλούτος ήχων και ρυθμών. Αυτός ο κόσμος «υπάρχει» και όχι «υπήρξε» όπως λένε στα ωδεία, γιατί μπορεί οι Δυτικοί να κέρδισαν τους πολέμους αυτής της περιόδου, μπορεί να επέβαλαν τη μουσική τους, αλλά αυτό δεν σημαίνει πως και οι μουσικές του κόσμου που ήχησαν στο παρελθόν ήταν «λάθος» και καλώς τις έφαγε η μαύρη μαρμάγκα. Για τον εμπλουτισμό της συζήτησης, πολύ θα θέλαμε να συνεισφέρει -όποιος θέλει και μπορεί- στην συνέχεια των άρθρων. Ας επικοινωνήσει μαζί μας για να συνεννοηθούμε για τις λεπτομέρειες. Απ’ όσα λάθη έγιναν κανένα δεν ήταν εσκεμμένο. Θα ήταν τιμή μας να τα διορθώσουμε με τις υποδείξεις σας.

Η αρχή

Πριν χρόνια, από πείσμα και περιέργεια, παράγγειλα στον Θεόφιλο Μπρα να μου κατασκευάσει έναν ταμπουρά. Το εργαστήριό του τότε ήταν στους πρόποδες του Γεροβουνού πριν το Μενίδι, προς Καματερό. Εκεί έπιασα για πρώτη φορά έναν ταμπουρά που είχε ετοιμάσει για μια γνωστή φίρμα. Από τότε ξετρελάθηκα στην ιδέα πως οι δεσμοί (τα τάστα) ήταν κινητά και μπορούσα -σε αντίθεση με την κιθάρα ή το μπουζούκι- να τα βάλω «όπου γουστάρω». Αυτό ακριβώς το «όπου γουστάρω» ήταν η αρχή μιας ωραίας περιπέτειας.

Η συνέχεια

Αμέσως μόλις παρέλαβα τον δικό μου ταμπουρά, τον πήγα σπίτι και άρχισα την αναζήτηση των νόμων της Φύσης. Ξεσκόνισα όλα τα βιβλία φυσικής που είχα αλλά δε βρήκα τίποτα για του «πού βάζουμε τους δεσμούς». Μιλώντας με άλλους παλιότερους, μου είπαν μέσες άκρες «δεν ξέρω πού πρέπει να τους βάζουμε τους δεσμούς, αλλά αν τους βάλεις έτσι (υπάρχει ένα βασικό σχήμα τοποθέτησης) μπορείς να παίξεις τον τάδε και τον δείνα ήχο της Βυζαντινής Μουσικής». Αχά, σκέφτηκα! Απάντηση δεν πήρα, αλλά κατάλαβα πως για Βυζαντινή μουσική είναι καμωμένο τούτο το όργανο. Αμέσως πάω στο Μουσικό Σχολείο του Σίμωνα Καρρά στο Στρέφη. Μετά από περιπέτειες δύο περίπου χρόνων με τη Βυζαντινή Μουσική και την Τούρκικη, διαπίστωσα πως ούτε αυτή η προσέγγιση μου έφερνε την πολυπόθητη λύση στο ερώτημα «πού βάζουμε τους δεσμούς». Τώρα βέβαια το ερώτημα είχε εμπλουτιστεί.

Το ένα πρόβλημα φέρνει το άλλο και τα δυο τη σκέψη

(πουθενά όμως δεν διαφαίνεται η απόλυτη απάντηση - μήπως δεν υπάρχει;)

Τώρα ρωτούσα «πού πρέπει να βάλουμε τους δεσμούς, σύμφωνα με ποια μουσική σχολή». Γιατί σ’ αυτό το ερώτημα διαφορετικά απάντησε ο Πυθαγόρας και οι σύγχρονοί του, διαφορετικά εξελίχτηκε η Βυζαντινή Μουσική. Οι κλώνοι της Αραβικής - Πέρσικης - Τούρκικης απάντησαν (ή προσέγγισαν) στο ερώτημα και αυτοί με το δικό τους τρόπο στην προσπάθειά τους να ηχήσουν οι ήχοι του δικού τους θαυμαστού πολιτισμού. Τέλος, η Δυτική μουσική που κυριαρχεί στον κόσμο «στον οποίο ανήκουμε» συγκέρασε με μαθηματικό τρόπο όλες τις μικροαποκλίσεις για να αναδειχτεί η πολυφωνία.
Μα μήπως τελειώνουμε εδώ; «Με τίποτα» είναι η απάντηση!
Διότι απλούστατα δεν έχουμε περιλάβει ούτε κατά διάνοια την Κινέζικη, την Ινδική, την Αμποριτζιανή (γηγενείς της Αυστραλίας) και τόσες άλλες μουσικές του κόσμου. Ούτε καν τις μεσαιωνικές Γερμανικές μουσικές που όσοι τις έχουν μελετήσει λένε πως έμοιαζαν πολύ στις αρχαίες δικές μας.

Και έφτασα στον... Πυθαγόρα

Μαθαίνω λοιπόν πως ο Πυθαγόρας, από τον 6ο αιώνα π.Χ., ανακάλυψε πως το διάστημα της καθαρής πέμπτης, που αντιστοιχεί σε λόγο συχνοτήτων 3/2, μαζί με το διάστημα πλήρους οκτάβας 2/1, είναι ιδιαίτερα σύμφωνα. Από αυτή τη θεμελιώδη παρατήρηση συμπέρανε πως η μουσική κλίμακα οφείλει να σχηματίζεται με χρήση των κλασμάτων της καθαρής πέμπτης 3/2 και του κλάσματος της πλήρους οκτάβας 2/1. Επειδή αυτά που θα πούμε παρακάτω αναφέρονται σε μια ιδιόμορφη αριθμητική, ας ξεκαθαρίσουμε μερικά θέματα από τώρα. Έστω ότι έχουμε ένα μπουζούκι μήκους χορδής 64 πόντων (βλ. σχήμα 1). Αν το κούρδισμα είναι Re-La-Re, τότε στη μέση της χορδής, δηλαδή στο (1/2), οι νότες είναι και πάλι Re-La-Re μόνο που είναι μια οκτάβα ψηλότερες, δηλαδή παράγουν διπλάσια συχνότητα από ότι η ανοιχτή χορδή (2/1). Δηλαδή, συγκρίνοντας μήκη και συχνότητες καταλαβαίνουμε πως από λόγο μηκών (1/2) παίρνουμε λόγο συχνοτήτων (2/1). Όμοια, τα 2/3 της χορδής του μισού (1/2) που είναι ίσο με το (1/2)x(2/3)=(2/6) δίνει την νότα La.

Συγκρίνοντας μήκη και συχνότητες καταλαβαίνουμε πως από λόγο μηκών (2/6) παίρνουμε λόγο συχνοτήτων (6/2). Αρα η νότα La σε σχέση με την νότα Re που είναι η ελεύθερη χορδή είναι 6/2 = 3 φορές πιο πρίμα. Και πράγματι, αν πάμε στον πίνακα των συχνοτήτων (π.χ. στο www.musiciansnews.com) θα βρούμε πως Re=146.85 Hz και La=440 Hz, οπότε 440:146.85 = 2.996 που είναι περίπου ίσο με 3 (ας μην ξεχνάμε η Δυτική μουσική δουλεύει με τη συγκερασμένη κλίμακα και όχι την Πυθαγόρεια που είναι ακριβέστερη).

Σχήμα 1 - Μήκος χορδής και κλάσματα χορδής

Η πρώτη κλίμακα

Ας σχηματίσουμε την κλίμακα Fa - Sol - La - Si - Do - Re - Mi - Fa'.

Ο πρώτος φθόγγος είναι ο Fa που βρίσκεται σε ταυτοφωνία με τον εαυτό του. Δηλαδή σε σχέση 1/1. Για την πληρότητα της κλίμακας χρειαζόμαστε και τον Fa' μια οκτάβα πάνω από τον αρχικό Fa. Επειδή, όπως εύκολα αποδεικνύεται, όσες πέμπτες και να προσθέσουμε δεν θα πάρουμε ποτέ μια πλήρη οκτάβα (2/1), ορίζουμε την οκτάβα με λόγο 2/1.

Εισάγουμε τον επόμενο φθόγγο Do σε απόσταση καθαρής πέμπτης (δηλ. 1.Fa, 2.Sol, 3.La, 4.Si, 5.Do = πέντε φθόγγοι χωρίς υφέσεις ή διέσεις -- το διάστημα 5ης καθαρής αποτελείται από 7 ημιτόνια.) από τον Fa, δηλ. σε σχέση συχνοτήτων 3/2 ή σε σχέση μηκών χορδής 2/3 (αλλά από εδώ και πέρα θα μιλάμε μόνο για σχέσεις συχνοτήτων).

Για τον τρίτο φθόγγο Sol πρέπει να προσθέσουμε στο Do άλλη μία καθαρή πέμπτη (3/2). Στη κλασματική κλίμακα αυτό σημαίνει να πολλαπλασιάσουμε το (3/2) επί το (3/2). Μια καθαρή πέμπτη πάνω από τον Do θα έδινε τον Sol' που απέχει μια μεγάλη ενάτη (14 ημιτόνια) από τον αρχικό Fa. H σχέση που θα είχαν είναι (3/2) x (3/2) = 9/4. Ομως είναι εκτός οκτάβας Fa - Fa', οπότε παίρνουμε το μισό του (9/4) : (1/2) = 9/8, που είναι και αυτός Sol αλλά μέσα στα όρια της κλίμακάς μας. Λέγοντας "παίρνουμε το μισό του", ουσιαστικά σημαίνει "αφαιρώ μία οκτάβα".

Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε και το Re:

Ως εδώ μάθαμε ότι για να αθροίσουμε δύο διαστήματα πολλαπλασιάζουμε τους λόγους τους, για να αφαιρέσουμε δύο διαστήματα διαιρούμε τους λόγους τους. Επιπλέον, διαπιστώνουμε πως:

το διάστημα μιας τετάρτης (Sol - Do) είναι ίσο με τη διαφορά του Do μείον το Sol, δηλ. (3/2):(9/8) = 4/3
το διάστημα μιας μεγάλης δευτέρας (Fa - Sol) είναι ίσο με τη διαφορά το Sol μείον τον Fa, δηλ. (9/8):(1/1) = 9/8

Η συνέχεια είναι εύκολη και οι πράξεις δίνονται απ’ την αρχή συνοπτικά:

Fa = 1/1
Do = Fa + (3/2) = (1/1)x(3/2) = 3/2
Sol = Do + (3/2) = (3/2)x(3/2) = 9/4 > 2/1 άρα αφαιρώ 2/1. Έτσι (9/4):(2/1) = 9/8
Re = Sol + (3/2) = (9/8)x(3/2) = 27/16
La = Re + (3/2) = (27/16)x(3/2) = 81/32 > 2/1 άρα (81/32):(2/1) = 81/64
Mi = La + (3/2) = (81/64)x(3/2) = 243/128
Si = Mi + (3/2) = (243/128)x(3/2) = 729/256 > 2/1 άρα (729/256):(2/1)=729/512

Όσα ξέραμε μέχρι και την εύρεση του Sol αρκούσαν για την εύρεση όλων των υπολοίπων φθόγγων της κλίμακας. Για να βρούμε τον La αρκεί να προσθέσουμε ένα διάστημα μεγάλης δευτέρας 9/8 (Πυθαγόρειος Μείζων Τόνος) στο Sol. Μετά, για να βρούμε τον Si αρκεί να προσθέσουμε ένα διάστημα μεγάλης δευτέρας στον Sol που βρήκαμε πριν κ.ο.κ.

La = Sol + (9/8) = (9/8)x(9/8) = 81/64
Si = La + (9/8) = (81/64)x(9/8) = 729/512
Re = Do + (9/8) = (3/2)x(9/8) = 27/16
Mi = Re + (9/8) = (27/16)x(9/8) = 243/128

Τελικά:

Τα διαστήματα Si-Do και Mi-Fa' είναι ίσα με το Έλασσον Ημιτόνιο = 256/243 ή 28/35, αφού Do μείον Si = (3/2):(729/512) = (2/1):(243/128)= 256/243 αλλά και Fa' μείον Mi = (2/1):(243/128)= 256/243.
Τα υπόλοιπα διαστήματα είναι όλα ίσα με τον Μείζονα Τόνο = 9/8 ή 32/23. Τα ημιτόνια δεν είναι το μισό του τόνου: To Do συν Έλασσον Ημιτόνιο = (3/2)x(256/243) = 128/81 και Re μείον Ελασσον Ημιτόνιο 256/243 = (27/16):(256/243) = 6541/4096. Όφειλαν να είναι ίσα, αλλά έχουν διαφορά ίση με (6541/4096):(128/81)=25567/25300.
Η απόσταση Do# - Si είναι Do# = (128/81):(729/512) = 65536/59049 = 216/310.
Δηλαδή δύο ημιτόνια δίνουν λόγο συχνοτήτων 216/310 αντί για 9/8. Αυτό ισοδυναμεί με διαφορά (216/310):(9/8)= (216/310):( 32/24)= 219/312 , που είναι περίπου ίσο με το 1 (δηλαδή η απόσταση εκμηδενίζεται).

Με λίγα λόγια, το πυθαγόρειο σύστημα βασίζεται στο ότι 219≈312 ή 524288 ≈531441. Ετσι, ανεβαίνοντας από ένα φθόγγο 12 πέμπτες (12x7=84 ημιτόνια) και κατεβαίνοντας 7 οκτάβες (7x12 = 84 ημιτόνια) επιστρέφεις περίπου στον αρχικό φθόγγο. Από το γεγονός ότι δεν ταυτίζονται, εμφανίζεται η ανάγκη του ορισμού του Πυθαγόρειου κόμματος: 312/219 = 1.013643265, κάτι περισσότερο από το ένα ένατο του τόνου.

Ορολογία

Μία οκτάβα (2/1) μείον μία καθαρή πέμπτη (3/2) κάνει μία καθαρή τετάρτη (4/3).
Μία καθαρή πέμπτη (3/2) μείον μια καθαρή τετάρτη (4/3) κάνει ένα Πυθαγόρειο Μείζονα τόνο (9/8).
Μία καθαρή τετάρτη (4/3) μείον δύο τόνους (18/8) κάνει ένα Πυθαγόρειο έλασσον ημιτόνιο (256/243). Αρχικά λεγόταν δίεση (εκ του «διαφορά») και αργότερα λήμμα.
Ενας τόνος (9/8) μείον μία δίεση (256/243) κάνει ένα Πυθαγόρειο Μείζον Ημιτόνιο (2187/2048) που λέγεται και αποτομή.
Μία αποτομή (2187/2048) μείον μία δίεση (256/243) κάνει ένα Πυθαγόρειο κόμμα (531441/524288).

Όλα μαζί

Πίνακας 1 - Συγκεντρωτικός πίνακας θέσεων της Πυθαγόρειας Κλίμακας

Σύγκριση με το συγκερασμένο μπουζούκι

Η πρώτη στήλη είναι οι κλασματικές θέσεις των «τάστων», η δεύτερη στήλη είναι οι ονομασίες των φθόγγων, στην τρίτη στήλη βάλαμε τις θέσεις των τάστων βάσει των κλασμάτων και στο τέλος προσθέσαμε τις θέσεις των τάστων βάσει της συγκερασμένης κλίμακας και την διαφορά τους από την Πυθαγόρεια σε ποσοστό επί τοις χιλίοις.

Πίνακας 2 - Σύγκριση Πυθαγόρειου και Συγκερασμένου Μπουζουκιού

Εφαρμόζοντας τα παραπάνω σε ένα κανονικό μπουζούκι θα είχαμε την παρακάτω ταστιέρα (σχήμα 5) όπου έχουμε σημειώσει με πράσινο χρώμα τα «κανονικά» τάστα της συγκερασμένης κλίμακας και με κόκκινο της Πυθαγόρειας.

Σχήμα 5: Η ταστιέρα «διορθωμένη». Πράσινο = τα γνωστά τάστα της συγκερασμένης. Κόκκινο = τα «σωστά» τάστα της Πυθαγόρειας κλίμακας.

Σε μια ρεαλιστική (ή μήπως σουρεαλιστική) κατασκευή κιθάρας, θα καταλήγαμε σε κάτι σαν την φωτογραφία 3 (από το http://users.rcn.com/dante.interport/justguitar.html).

Ναι, βεβαίως και έχουν κατασκευάσει τέτοια όργανα και μάλιστα υπάρχουν ολόκληρα μουσικά άλμπουμ με «σωστές» κλίμακες - αλλά όχι πάντα «Πυθαγόρειες».

Για τον Πυθαγόρα

Αξιοπρεπείς πηγές για τον Πυθαγόρα βρήκαμε κυρίως σε Αγγλικές εκδόσεις (βιβλία και άρθρα). Δυστυχώς, το έργο του Πυθαγόρα και της σχολής του έγινε αντικείμενο εκμετάλλευσης από εθνικιστές, ελληναράδες, μυστικιστές, δωδεκαθεϊστές και από ένα κάρο άλλα ανθρώπινα είδη. Δύσκολα θα βρείτε κάτι σοβαρό στο internet. Παρόλα αυτά, παραθέτουμε μερικά sites χωρίς βέβαια να συνυπογράφουμε:

στα Ελληνικά

στα Αγγλικά
Αν έχετε εξοικείωση με τα Αγγλικά, εδώ θα βρείτε περισσότερο και σοβαρότερο υλικό:

Η συνέχεια

Στα επόμενα τεύχη θα προσπαθήσουμε να γίνουμε πιο συγκεκριμένοι, δίνοντας πατρόν για ταστιέρες, θέσεις δεσμών κλπ. αλλά να παρουσιάσουμε και κάποια ζωντανά ρεύματα όπως το Just Intonation, κάποιες συγκρίσεις Τούρκικης και Βυζαντινής κλίμακας και άλλα πολλά.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Για λάθη, παραλείψεις, επισημάνσεις, ακατανοησίες, κακίες, εξυπνάδες και... βοήθεια, ρίξτε ένα email. Θα απαντήσουμε σε όλα.

άρθρα